FAQs zur Klausur "Einführung in die Messtechnik"

Welche Hilfsmittel sind zur Klausur zugelassen?

Als Hilfsmittel sind zur Klausur ausschließlich Taschenrechner ohne vorgefertigte Programme zugelassen. Der Taschenrechner darf also programmierbar sein, allerdings dürfen sich zu Beginn der Klausur keine vom Benutzer in einem löschbaren Speicher abgelegten Programme auf dem Taschenrechner befinden. Im Zweifelsfalls sollte daher der Taschenrechner vor Beginn der Klausur per Reset in den Grundzustand zurück versetzt werden.
Eine weitere Anforderung an die erlaubten Taschenrechner besteht darin, dass diese nicht über eine drahtlose Kommunikationsschnittstelle (Infrarot, Bluetooth, WLAN, …) verfügen dürfen.

Nicht als Hilfsmittel im eigentlichen Sinne gelten Wörterbücher (im Sinne einer Übersetzung zwischen zwei Sprachen). Deren Verwendung ist erlaubt. Ebenfalls erlaubt ist die Verwendungen der originalen, gedruckten Bedienungsanleitung des verwendeten Taschenrechners.

Darf in der Klausur eine eigene Formelsammlung verwendet werden?

Eine eigene Formelsammlung ist zur Klausur nicht zugelassen. Eine Formelsammlung sowie ggf. benötigte Tabellen werden als Bestandteil der Aufgabenstellung ausgeteilt. Weitere Details zu der in der Klausur zur Verfügung gestellten Formelsammlung entnehmen Sie bitte der Antwort auf die Frage „Wie sieht die in der Klausur zur Verfügung gestellte Formelsammlung aus?“ auf dieser Seite.

Wie sieht die in der Klausur zur Verfügung gestellte Formelsammlung aus?

Die Formelsammlung umfasst zwei Seiten mit Formeln und Verfahrensbeschreibungen zu den relevanten statistschen Methoden sowie eine Tabelle der Summenfunktion der standardisierten Normalverteilung, eine Tabelle der p-Quantile der Student'schen t-Verteilung und - sofern für die Bearbeitung der Klausur benötigt - eine Tabelle der p-Quantile der Chi²-Verteilung. Zum genauen Aussehen der Formelsammlung und der Tabellen orientieren Sie sich bitte an der jeweils jüngsten auf unserer Homepage zum Download angebotenen Klausur.

Welche Dauer hat die Klausur?

Die Klausur „Einführung in die Messtechnik“ wird aktuell sowohl in einer zweistündigen als auch in einer zweieinhalbstündigen Version angeboten. Welche davon abzulegen ist, hängt von Ihrem Studiengang sowie der für Sie jeweils geltenden Prüfungsordnung ab.

  • In den Diplomstudiengängen beträgt die Prüfungsdauer zwei Stunden (Prüfungsnummer 2302).
  • Im Studiengang Bachelor Maschinenbau mit Studienbeginn vor WS 2012/13 beträgt die Prüfungsdauer zwei Stunden (Prüfungsnummer 2511051 - 4 LP).
  • Im Studiengang Bachelor Mobilität und Verkehr vor BPO 2011 beträgt die Prüfungsdauer zwei Stunden (Prüfungsnummer 2511051 - 4 LP).
  • Im Studiengang Bachelor Maschinenbau mit Studienbeginn ab WS 2012/13 beträgt die Prüfungsdauer zweieinhalb Stunden (Prüfungsnummer 2511161 - 5 LP).
  • Im Studiengang Bachelor Mobilität und Verkehr ab BPO 2011 beträgt die Prüfungsdauer zweieinhalb Stunden (Prüfungsnummer 2511141 - 5 LP).

Wie Sie den alten Aufgabenstellungen entnehmen können, betrug die Bearbeitungsdauer früher 3 Stunden. Der Aufgabenumfang der Klausur wurde im Zuge der Verkürzung der Prüfungsdauer angemessen reduziert.

Wie unterscheiden sich die zweistündige und die zweieinhalbstündige Klausur voneinander?

Die zweistündige Klausur (4 LP) stellt eine Untermenge der zweieinhalbstündigen Klausur (5 LP) dar. Während die Rechenaufgaben in der Regel in beiden Klausuren unverändert enthalten sind, entfallen bei der zweistündigen Klausur einzelne Aufgaben aus den Teilen Antwortwahlverfahren Teil A und B sowie den Kurzfragen.

Sind alle Themengebiete aus den alten Klausuren relevant oder wurden im Zuge der Verkürzung der Prüfungsdauer einzelne Themengebiete gestrichen?

Es sind auch bei der aktuellen, zweistündigen bzw. zweieinhalbstündigen Klausur noch alle Inhalte relevant, die bereits Gegenstand der älteren, dreistündigen Klausuren waren. Die Reduzierung des Prüfungsumfangs wurde dadurch erreicht, dass die einzelnen Aufgaben in sich reduziert worden sind, nicht jedoch durch Wegfall ganzer Aufgabentypen.

Auf wieviele Nachkommastellen sollen Ergebnisse gerundet werden?

Für Endergebnisse sind im Allgemeinen drei signifikante Nachkommastellen (also ohne führende Nullen) ausreichend. Für Zwischenergebnisse kann es zweckmäßig sein, auch vier oder fünf Nachkommastellen zu berücksichtigen, um eine übermäßige Akkumulation einzelner Rundungsfehler zu vermeiden.

Dies ist auch vom jeweiligen „Rechenstil“ abhängig. Wer häufig einzelne Teilergebnisse niederschreibt und diese später zum Weiterrechnen wieder in den Taschenrechner eingibt, sollte eher auf ausreichende Zahl von Nachkommastellen bei Zwischen- oder Teilergebnissen achten, als jemand, der Rechnungen in einem Schritt durchführt oder aber vom Wertespeicher seines Taschenrechners Gebrauch macht.

Entscheidender als die absolute Zahl der Nachkommastellen ist letztlich die relative Abweichung, die sich am Ende durch die Rundung ergibt. Diese sollte, als Faustformel, möglichst unterhalb von einem Prozent bleiben. Dabei ist auch zu berücksichtigen, dass verschieden Berechnungen unterschiedlich anfällig für Rundungsfehler sind. So ist beispielsweise bei der Berechnung der Restvarianz eher auf ausreichende Anzahl von Nachkommastellen zu achten, als bei manch anderen Rechenverfahren, die in der „Einführung in die Messtechnik“ behandelt werden.

Ein weiterer Sonderfall besteht dann, wenn ein ansonsten sinnvolles Runden zur Folge hätte, dass der eigentlich zu untersuchende Effekt „weggerundet“ wird. Soll z.B. untersucht werden, ob ein Mittelwert von 14,9995 mm signifikant vom Referenzwert 15 mm abweicht, so ist es natürlich nicht sinnvoll, den Mittelwert auf 15 mm zu runden, um dann durch weitere Berechnungen festzustellen, dass kein signifikanter Unterschied zwischen 15 mm und 15 mm besteht.

Ist es möglich, bei der Lösung von Rechenaufgaben nur die verwendete Formel anzugeben und auf ein explizites Einsetzen der Zahlenwerten zu verzichten?

Sofern der Lösungsweg nachvollziehbar bleibt, ist das Aufschreiben der Formel mit eingesetzten Zahlenwerten ist nicht unbedingt erforderlich. Der Vorteil des Einsetzens der Zahlenwerte liegt allerdings darin, dass für den Fall eines Rechen- oder Tippfehlers dann bei der Korrektur die Möglichkeit besteht, den Fehler einzugrenzen und ggf. Teilpunkte auf den jeweiligen Lösungsschritt zu vergeben.

Darf man Mittelwert, empirische Streuung, Regressionskoeffizient, Restvarianz und ähnliches mit den entsprechenden Statistikfunktionen des Taschenrechners berechnen?

Wenn Ihr Taschenrechner - im Rahmen der oben genannten Einschränkungen hinsichtlich zugelassener Rechner - über Funktionen zur Berechnung von Mittelwert, Streuung, Regressionskoeffizient oder Restvarianz verfügt, so dürfen Sie diese auch verwenden. Ungeachtet dessen muss der Lösungsweg jedoch erkennbar und nachvollziehbar bleiben. Das Aufschreiben der entsprechenden Formeln ist hierfür jedoch nicht erforderlich, da diese Bestandteil der zur Verfügnung gestellten Hilfsmittel sind und damit deren Übertragen in die Lösung keinen Erkenntnisgewinn liefert.

Wo finde ich auf meinem Taschenrechner die Funktionen zur Berechnung des Regressionskoeffizienten oder der Restvarianz?

Aufgrund der Fülle unterschiedlicher Taschenrechnermodelle können wir leider generell keine Hinweise zu Funktionsumfang und Bedienung derselben geben. Bei Fragen zur Bedienung Ihres Taschenrechners ziehen Sie bitte die - in der Regel auf den Internetseiten der Hersteller auch in elektronischer Form verfügbare - Bedienungsanleitung Ihres Modells zu Rate.

Für die Berechnung der Restvarianz sind in der Formelsammlung zwei Formeln angegeben. Welche davon soll ich verwenden und was bedeutet die Variable rxy in der zweiten Formel?

Prinzipiell sind beide Varianten äquivalent und lassen sich ineinander überführen (wenn auch nicht ganz ohne „Trick“). Die zweite Variante ist hier angegeben für den Fall, dass man über einen Taschenrechner verfügt, der in der Lage ist, mittels entsprechender Statistikfunktionen mindestens die Streuung Sy und den Korrelationskoeffizienten rxy zu berechnen. In diesem Fall ist die Verwendung der zweiten Varianten effizienter. Muss die Berechnung hingegen ohne Möglichkeit einer direkten Bestimmung von rxy erfolgen, ist die Anwendung der ersten Variante sinnvoller.
Nach unserer Erfahrung sollte die Berechnung des Korrelationskoeffizienten rxy (welcher stets zwischen 0 und 1 liegt und ein Maß für den Grad der Linearität ist) mit allen Taschenrechnern möglich sein, die prinzipiell lineare Regression beherrschen. Nur wenn Sie über einen solchen Rechner verfügen, ist die zweite Berechnungsvorschrift für Sie sinnvoll anwendbar. Denn andernfalls würden Sie, bei manueller Berechnung von rxy, wohl keine Zeit gegenüber der ersten Berechnungsvariante sparen.

Wie ergibt sich beim Chi²-Test der Parameter s zur Bestimmung des kritischen Chi²-Wertes?

Wie bereits an anderer Stelle ausgeführt, steht der Parameter s für die Anzahl der freien Parameter der für den jeweiligen Test zugrunde gelegten Verteilungsdichtefunktion, sofern diese aus der untersuchten Stichprobe abgeschätzt werden. So ist z.B. die gaußsche Normalverteilung von den beiden Parametern µ und σ abhängig. Die Anzahl s beträgt in diesem Fall somit s = 2. Eine Poissonverteilung ist hingegen nur von dem Parameter Lambda abhängig, s beträgt in diesem Fall also s = 1. Die Bionomialverteilung schließlich ist von den beiden Parametern n und p abhängig, in diesem Fall gilt also wieder s = 2.

Bei obiger Erläuterung wird davon ausgegangen, dass diese Parameter aus der untersuchten Messreihe abgeschätzt werden. Wären einzelne oder mehrere der Parameter vorab bekannt oder würden als feste Werte vorausgesetzt, so gingen diese nicht in die Anzahl s ein. Wird also z.B. auf eine gaußsche Normalverteilung getestet und der Erwartungswert µ fest vorgegeben, die Standardabweichung σ aber durch die Stichprobenstandardabweichung S abgeschätzt, so betrüge die Anzahl s = 1.

Bei der Bearbeitung der alten Klausuraufgabe x habe ich für den Wert y das Ergebnis z erhalten. In der Musterlösung steht jedoch ein anderer Wert. Kann es ein, dass die Musterlösung falsch ist?

Natürlich sind auch wir nicht vor Fehlern gefeit, allerdings zeigt die Erfahrung, dass in der weit überwiegenden Zahl derartiger Fälle der Fehler nicht in der Musterlösung liegt. Bitte prüfen Sie daher im Zweifelsfall zunächst, z.B. auch durch Austausch mit Ihren Kommilitonen, ob sich das Ergebnis der Musterlösung tatsächlich nicht nachvollziehen lässt. In begründeten Fällen freuen wir uns natürlich über entsprechendes Feedback, damit wir den Fehler in unseren Unterlagen korrigieren können, um für nachfolgende Jahrgänge entsprechende Irritationen zu vermeiden.

Ist das Kapitel 3, "Spezielle Messverfahren" des Vorlesungsskripts klausurrelevant? Hierzu habe ich noch keine Übungs- oder Klausuraufgaben gefunden.

Echte Rechenaufgaben gibt es zum dritten Kapitel keine. Das dritte Kapitel ist jedoch - ebenso wie die Kapitel 1 und 2 - für den Kurzfragenteil relevant. Dort kann dann evtl. auch eine kleine Rechnung, etwa zur Digitalisierung, gefragt sein.

Wie werden die Kurzfragen in der Klausur aussehen und was muss ich dafür lernen?

Für die Kurzfragen sind grundsätzlich alle Inhalte der Vorlesung und Übung relevant. Einen guten Eindruck von Art und Niveau der Kurzfragen erhalten Sie aus der Gesamtheit der auf unserer Homepage zum Download angeboteten Klausuren. Jedoch sind weder die Kurzfragen der alten Klausuren noch die in der Übung behandelten oder im Übungsskript abgedruckten Kurzfragen als eine abschließende Sammlung aller möglichen Kurzfragen zu interpretieren. Selbstverständlich können in zukünftigen Klausuren auch Kurzfragen mit Bezug zu den Inhalten der Lehrveranstaltung auftauchen, die zuvor noch an keiner Stelle der Lehrveranstaltung in exakt dieser Form thematisiert wurden.

Erläuterungen zu konkreten Kurzfragen

Themengebiet normalverteilte Messgrößen

Q: Bei der Beobachtung einer normalverteilten, dimensionslosen Zufallsgröße stellen Sie fest, dass 15,85% aller Einzelwerte kleiner als 18 sind und dass 2,275% aller Einzelwerte größer als 90 sind. Geben Sie den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ der zugrundeliegenden Verteilung an!

A: Die Lösung ergibt sich aus den allgemeinen Eigenschaften einer Normalverteilung. Wie in Tabelle 2.2 des Vorlesungsskripts dargestellt, liegen bei einer Normalverteilung innerhalb einer Umgebung von ±σ um den Erwartungswert 68,3% aller Messwerte. Folglich liegen 31,7% außerhalb diese Intervalls und aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung jeweils 15,85% unterhalb von µ - σ bzw. oberhalb von µ + σ. Die Grenze 18, unterhalb derer laut Aufgabenstellung 15,85% aller Messwerte liegen, stellt somit die Schwelle µ - σ dar. Vergleichbares gilt für die zweite Grenze bei 90, dort aber für ein ±2σ-Intervall um den Erwartungswert, innerhalb dessen 95,45% aller Werte liegen. 90 entspricht somit der Schwelle µ + 2σ. Der Abstand zwischen der unteren Grenze von 18 und der oberen Grenze von 90 beträgt somit 3σ. Folglich gilt 3σ = 90 - 18 = 72, also σ = 24. Der Erwartungswert µ ergibt sich dann z.B. durch 18 + σ = 18 + 24 = 42.

Q: Bei der Messung einer Kraft wird festgestellt, dass die Messgröße normalverteilt ist und dass 95,45% aller Messwerte im Intervall [643N;647N] liegen. Die Verteilungsdichtefunktion wird gezeichnet und die Wendestellen der Kurve werden bestimmt. Welchen Abstand haben diese?

A: 95,45% entsprechen einer ±2σ-Umgebung symmetrisch um den Erwartungswert µ. Die gegebene Intervallbreite entspricht also 4σ. Damit folgt: 647N - 643N = 4N = 4σ, also σ = 1N. Ferner ist bekannt, dass die Wendestellen der Normalverteilungskurve bei bei µ - σ und µ + σ liegen, ihr Abstand somit also 2σ beträgt. Mit σ = 1N ergibt sich also ein Abstand zwischen den Wendestellen von 2N.

Q: Der Durchmesser einer Kugel wurde zu 55,0 mm mit einer Standardabweichung von 0,37mm bestimmt. Die Meßgröße ist normalverteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel durch einen kreisförmiges Loch mit dem exakten Durchmesser 55,0mm hindurchfällt?

Bei einer Normalverteilung sind aufgrund der Symmetrie jeweils 50% aller Werte kleiner bzw. größer als der Erwartungswert µ. 50% aller Kugeln haben somit einen Durchmesser von von weniger als 55mm und fallen folglich durch das Loch von 55mm Durchmesser.

Q: Eine normalverteilte Größe werde mit 8 Wiederholungen gemessen. Man erhält als Schätzung für den Erwartungswert zu einer geforderten statistischen Sicherheit den Mittelwert und ein Konfidenzintervall. Wie viele Wiederholungsmessungen müssen durchgeführt werden, um das Konfidenzintervall um den Faktor 3 zu verkleinern?

A: Die Lösung ergibt sich aus den Eigenschaften der Standardabweichung des Mittelwertes, die wiederum eine Folge der Abweichungsfortpflanzung für zufällige Abweichungen sind. Wie auf S. 46 im Vorlesungsskript erläutert, ist die Standardabweichung des Mittelwertes aus n Messwerten um den Faktor 1/√n kleiner als die Standardabweichung der Einzelmesswerte. Um also im vorliegenden Fall die Breite des Konfidenzintervalls, also die statistische Unsicherheit, um den Faktor 3 zu reduzieren, sind um den Faktor 3² = 9 mehr Wiederholungen erforderlich. Statt zuvor 8 Wiederholungen sind also 8*9 = 72 Wiederholungen erforderlich.

Q: Eine normalverteilte, dimensionslose Größe werde mit 8 Wiederholungen gemessen. Das Konfidenzintervall des Erwartungswertes wird zu 37 ≤ µ ≤ 47 bei P = 95% bestimmt. Geben Sie an, wie viele Wiederholungsmessungen durchgeführt werden müssten, um das Konfidenzintervall bei unveränderter Aussagesicherheit auf 41 ≤ µ ≤ 43 zu reduzieren?

Ebenso wie bei der vorangegangenen Aufgabe ergibt sich die Lösung aus den Eigenschaften der Standardabweichung des Mittelwertes. Die Breite des Konfidenzintervalls soll im vorliegenden Fall von 47 - 37 = 10 auf 43 - 41 = 2 reduziert werden, also um den Faktor 5. Dazu muss die Zahl der Messungen um den Faktor 5² = 25 erhöht werden. Bei zuvor 8 Messungen sind dies also 8*25 = 200 Messungen.